Prelevato dal Monza nel 1997, all'alba dei ventisette anni, Asta ha vestito la maglia granata fino al 2002 con in mezzo una piccola parentesi in comproprietà al Napoli. L'ex capitano ha iniziato a trovare minutaggio sotto la guida di Edy Reja, ma è stato Mondonico a valorizzarlo al meglio come esterno destro. Con il Mondo in panchina, Tonino è stato uno dei protagonisti della squadra che nel '99 ha conquistato la promozione in Serie A. Con la maglia granata è dunque arrivato l'esordio in Serie A, prima del passaggio in comproprietà al Napoli nel gennaio del 2000. Conquistata la massima serie anche con i partenopei, Asta è stato quindi riscattato dal Toro appena retrocesso. Dopo un inizio difficile in cadetteria, sulla panchina granata è quindi approdato Camolese, che ha affidato i gradi di capitano ad Asta e ha riportato i granata nella massima serie. La stagione seguente, la 2001-2002, ha visto nuovamente Asta grande protagonista, tra la prima convocazione in nazionale e l'indimenticabile derby del 3-3 in rimonta. A fine stagione la società decide però di non rinnovargli il contratto ed il capitano si trasferisce dunque a Palermo dove chiuderà la carriera nel 2004.